Vector velocidad y aceleración

Hemos visto que una curva se puede parametrizar de muchas maneras, del mismo modo que un camino se puede recorrer con distintas velocidades. Un método para caracterizar la forma de recorrer una curva parametrizada dada $\alpha$ es utilizar el vector velocidad. Tal vector no es más que la derivada de la parametrización de la curva:

$\displaystyle \alpha '(t)=\lim_{h\to0}\frac{\alpha(t+h)-\alpha(t)}{h}.$

Podemos considerar que cada punto de la curva tiene asociado un vector velocidad y que éste va variando en cada punto. Como la curva inicial se supone suficientemente diferenciable podemos considerar la aplicación llamada velocidad de $\alpha$ :

Asimismo también interesa considerar la función derivada segunda que se llama aceleración de $\alpha$ :

El vector aceleración caracteriza la variación del vector velocidad de la misma manera en que este último lo hacía con la variación del desplazamiento. Tanto la función velocidad como la aceleración toman imágenes en el espacio vectorial $\mathbb{R}^{3}$ pero si las consideramos en el espacio afín de dimensión $3$ obtenemos también curvas parametrizadas. La función velocidad recibe también el nombre de hodógrafa. Diremos que un punto $\alpha(t)$ es regular (o 1-regular) si $\alpha '(t)\neq 0$ y singular en caso contrario. Una curva parametrizada $\alpha:I\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$ es regular si y sólo si para todo $t\in I$ tenemos que $\alpha '(t)\neq 0.$

jueves, 20 de octubre de 2016

Vector velocidad y aceleración

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